P1028. 数的计算

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考点

  • 线性动态规划

题解

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int LEN = 1e3 + 10;

ll mem[LEN];

ll dfs(int x)
{
    if (mem[x])
        return mem[x];
    if (x == 0 || x == 1)
        return mem[x] = 1;
    for (int i = 0; i <= x / 2; ++i)
        mem[x] += dfs(i);
    return mem[x];
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    cout << dfs(n);
}

思路

设mem[n]为数字n的合法数列个数；令mem[0] = 1，意为数字n本身构成的序列，数列末尾什么也不加

显然能得到状态转移方程： \[ mem\left[ 0 \right] +mem\left[ 1 \right] +...mem\left[ n/2 \right] \rightarrow mem\left[ n \right] \] 题解是递归编写的，将其改为递推也是可以的：

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int LEN = 1e3 + 10;

ll dp[LEN];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    dp[0] = dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j <= i / 2; ++j)
        {
            dp[i] += dp[j];
        }
    }
    cout << dp[n];
}