375. 猜数字大小 II

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考点

  • 区间DP

思路

一、问题建模

给定一个整数区间 \([1,n]\)，其中隐藏着一个未知整数。 算法每次可以选择猜测一个整数 \(x\)，并立即支付代价 \(x\)。随后：

  • 若真实值小于 \(x\)，问题缩小为区间 \([1, x-1]\)；
  • 若真实值大于 \(x\)，问题缩小为区间 \([x+1, n]\)；
  • 若猜中，则过程结束。

目标是在任意真实值的情况下，都能够保证猜中，并且使得所需支付金额的最大值最小。

该问题本质上是一个 极小化最坏代价（Minimax）问题，并且具有明显的区间最优子结构，适合使用区间动态规划求解。

二、状态定义

定义二维动态规划数组： \[ f[l][r] = \text{当真实答案只可能位于区间 } [l,r] \text{ 内时，保证猜中所需的最小金额} \]

边界条件

  • 当 \(l \ge r\) 时，区间中至多只有一个数字，不需要支付任何费用即可确定答案：

\[ f[l][r] = 0 \]

三、决策过程分析

设当前需要处理的区间为 \([l,r]\)，选择第一次猜测的数字为 \(x\)，其中： \[ l \le x \le r \]

代价拆分

  • 本次猜测立即支付代价：\(x\)
  • 若真实值小于 \(x\)，进入左子区间 \([l, x-1]\)，额外代价为 \(f[l][x-1]\)
  • 若真实值大于 \(x\)，进入右子区间 \([x+1, r]\)，额外代价为 \(f[x+1][r]\)

由于需要保证在最坏情况下仍然有足够的金额，因此需要取左右子区间代价的最大值： \[ \text{WorstCost}(x) = x + \max\bigl(f[l][x-1], f[x+1][r]\bigr) \]

四、状态转移方程

为了使最坏情况下的总代价最小，应在所有可能的猜测 \(x\) 中取最优值： \[ \boxed{ f[l][r] = \min_{x \in [l,r]} \left( x + \max\bigl(f[l][x-1], f[x+1][r]\bigr) \right) } \] 这是该问题的核心状态转移方程。

五、计算顺序

由于状态 \(f[l][r]\) 依赖于更短的区间：

  • \(f[l][x-1]\)
  • \(f[x+1][r]\)

因此按区间长度从小到大进行动态规划：

  1. 枚举区间长度 \(\text{len} = 2 \sim n\)
  2. 根据区间长度确定左右端点
  3. 枚举区间内的所有猜测点 \(x\)

最终答案为： \[ f[1][n] \]

六、空区间的处理

当 \(x = l\) 或 \(x = r\) 时，会出现空区间：

  • \([l, x-1]\) 或 \([x+1, r]\)

这些区间在语义上表示「无需再猜」，其代价应当为 0。 实现中必须显式处理这一情况，避免错误使用初始化的无穷大值。

七、AC代码

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class Solution {
public:
    static const int maxn = 2e2 + 5;
    static const int inf = 0x3f3f3f3f;

    int getMoneyAmount(int n) {
        // f[l][r] 表示当真实答案位于区间 [l, r] 内时，
        // 为保证一定猜中所需要的最小金额
        int f[maxn][maxn];
        memset(f, 0x3f, sizeof(f));

        // 边界情况：区间中只有一个数（或为空），不需要花钱
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            f[i][i] = 0;

        int i, l, r, best;

        // 枚举区间长度
        for (int len = 2; len <= n; ++len) {
            // 枚举区间右端点
            for (int j = len; j <= n; ++j) {
                // 根据长度确定左端点
                i = j - len + 1;
                best = inf;

                // 枚举当前区间内第一次猜测的数字 x
                for (int x = i; x <= j; ++x) {
                    // 左子区间的最坏代价（若为空区间则为 0）
                    l = (x - 1 < i) ? 0 : f[i][x - 1];
                    // 右子区间的最坏代价（若为空区间则为 0）
                    r = (x + 1 > j) ? 0 : f[x + 1][j];

                    // 选择 x 作为第一次猜测时的最坏总代价
                    best = min(best, x + max(l, r));
                }

                // 得到区间 [i, j] 的最优解
                f[i][j] = best;
            }
        }

        // 整个区间 [1, n] 的最小保证代价
        return f[1][n];
    }
};

八、总结

  • 本题通过区间 DP 对「最坏情况下的最优决策」进行建模；
  • 状态设计的关键在于：
    • 使用区间 \([l,r]\) 表示信息状态；
    • 将猜测数字本身作为代价；
    • 通过 min + max 实现 Minimax 思想；
  • 正确处理空区间是实现正确性的关键细节。