P4513 小白逛公园

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考点

  • 线段树

题解

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 10e5 + 50;
int n, m, a[maxn];

// lx：左边界开始，向右走的连续区间最大和
// rx：右边界开始，向左走的连续区间最大和
// s：区间和
// mx：子区间和的最大值，题目要求的
struct node {
  int l, r;
  ll lx, rx, s, mx;
#define l(x) tr[x].l
#define r(x) tr[x].r
#define lx(x) tr[x].lx
#define rx(x) tr[x].rx
#define s(x) tr[x].s
#define mx(x) tr[x].mx
#define lc(x) x << 1
#define rc(x) (x << 1) + 1
} tr[4 * maxn];

void up(int p) {
  s(p) = s(lc(p)) + s(rc(p));
  lx(p) = max(lx(lc(p)), s(lc(p)) + lx(rc(p)));
  rx(p) = max(rx(rc(p)), s(rc(p)) + rx(lc(p)));
  mx(p) = max(max(mx(lc(p)), mx(rc(p))), rx(lc(p)) + lx(rc(p)));
}

void build(int p, int l, int r) {
  l(p) = l, r(p) = r;
  if (l == r) {
    lx(p) = rx(p) = s(p) = mx(p) = a[l];
    return;
  }
  int mid = (l + r) / 2;
  build(lc(p), l, mid), build(rc(p), mid + 1, r);
  up(p);
}

void update(int p, int x, ll v) {
  if (l(p) == x && r(p) == x) {
    lx(p) = rx(p) = s(p) = mx(p) = v;
    return;
  }
  int mid = (l(p) + r(p)) / 2;
  if (x <= mid) update(lc(p), x, v);
  if (x > mid) update(rc(p), x, v);
  up(p);
}

node ask(int p, int l, int r) {
  if (l(p) >= l && r(p) <= r) return tr[p];
  int mid = (l(p) + r(p)) / 2;
  // 只在左边
  if (r <= mid)
    return ask(lc(p), l, r);
  // 只在右边
  else if (l > mid)
    return ask(rc(p), l, r);
  else {
    node res, lc = ask(lc(p), l, r), rc = ask(rc(p), l, r);
    res.s = lc.s + rc.s;
    res.lx = max(lc.lx, lc.s + rc.lx);
    res.rx = max(rc.rx, rc.s + lc.rx);
    res.mx = max(max(lc.mx, rc.mx), lc.rx + rc.lx);
    return res;
  }
}

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
  int opt, x, y;
  ll v;
  build(1, 1, n);
  while (m--) {
    scanf("%d", &opt);
    if (opt == 1) {
      scanf("%d%d", &x, &y);
      if (x > y) swap(x, y);
      printf("%d\n", ask(1, x, y).mx);
    } else {
      scanf("%d%lld", &x, &v);
      update(1, x, v);
    }
  }
  return 0;
}

思路

求子区间和的最大值，单点修改区间询问考虑使用线段树。

答案子区间所处位置只有两种可能：

  1. 包含mid，那么答案就等于从mid开始分别向左、向右延伸得到的最大和

    也就是左孩子rx + 右孩子lx

  2. 不包含mid，要么出现在左孩子，要么出现在右孩子

    即max(mx(左孩子), mx(右孩子))

所以每段区间的答案等于：

1
mx(p) = max(max(mx(lc(p)), mx(rc(p))), rx(lc(p)) + lx(rc(p)));

如何计算每个区间的lx和rx呢？

每个区间的lx，

要么向右最远处的下标小于等于mid，此时等于左孩子的lx；

要么最远处的下标大于mid，此时等于左孩子的区间和s加上右孩子的lx，即

1
lx(p) = max(lx(lc(p)), s(lc(p)) + lx(rc(p)));

同理，每个区间的rx，

要么向左最远处的下标大于mid，此时等于右孩子的rx；

要么向左最远处的下标小于等于mid，此时等于右孩子的区间和s加上左孩子的rx，即

1
rx(p) = max(rx(rc(p)), s(rc(p)) + rx(lc(p)));