acwing-205. 斐波那契

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考点

  • 矩阵乘法
  • 快速幂

题解

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e4;

void mulself(ll a[2][2]) {
  ll t[2][2];
  memset(t, 0, sizeof(t));
  for (int i = 0; i < 2; ++i) {
    for (int j = 0; j < 2; ++j) {
      for (int k = 0; k < 2; ++k) {
        t[i][j] = (t[i][j] + a[i][k] * a[k][j]) % mod;
      }
    }
  }
  memcpy(a, t, sizeof(t));
}

void mul(ll f[2], ll a[2][2]) {
  ll t[2];
  memset(t, 0, sizeof(t));
  for (int i = 0; i < 2; ++i) {
    for (int k = 0; k < 2; ++k) {
      t[i] = (t[i] + f[k] * a[k][i]) % mod;
    }
  }
  memcpy(f, t, sizeof(t));
}

int main() {
  int n;
  while (cin >> n && ~n) {
    ll f[2] = {0, 1}, a[2][2] = {{0, 1}, {1, 1}};
    // 矩阵快速幂
    while (n) {
      if (n & 1) mul(f, a);
      mulself(a);
      n >>= 1;
    }
    cout << f[0] << endl;
  }
  return 0;
}

思路

递推时只保存最近的两个斐波那契数，即可得到下一个斐波那契数。

设\(F\left( n \right)\)表示一个1 * 2的矩阵，\(F\left( n \right) =\left[ Fib_n\,\,Fib_{n+1} \right]\)，

我们希望根据\(F\left( n-1 \right) =\left[ Fib_{n-1}\,\,Fib_n \right]\)计算出\(F\left( n \right)\)，

构造一个矩阵A，设计如下矩阵乘法： \[ F\left( n \right) =F\left( n-1 \right) \cdot A\Longleftrightarrow \left[ Fib_n\,\,Fib_{n+1} \right] =\left[ Fib_{n-1}\,\,Fib_n \right] \cdot \left[ \begin{matrix} 0& 1\\ 1& 1\\ \end{matrix} \right] \] 根据题意，初值为\(F\left( 0 \right) =\left[ 0 1 \right]\)，目标为\(F\left( n \right) =F\left( 0 \right) \cdot A^n\)

由于矩阵乘法满足结合律，所以可以用快速幂计算上述式子，得到的矩阵第1列上的数就是\(Fib_n\)