P1314. 聪明的质监员

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考点

  • 二分
  • 前缀和

题解

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 50;
int n, m;
// wv前缀和 有效重量的个数和
// vv前缀和 有效重量的价值和
ll s, wv[maxn], vv[maxn];

// 存储矿石信息
struct node {
  int w_, v_;
} a[maxn];

// 存储区间信息
struct range {
  int l_, r_;
} b[maxn];

ll calc(int mid) {
  memset(wv, 0, sizeof(wv)), memset(vv, 0, sizeof(vv));
  ll sum = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    if (a[i].w_ >= mid) {
      wv[i] += 1, vv[i] += a[i].v_;
    }
    wv[i] += wv[i - 1], vv[i] += vv[i - 1];
  }
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    sum += (wv[b[i].r_] - wv[b[i].l_ - 1]) * (vv[b[i].r_] - vv[b[i].l_ - 1]);
  }
  return sum;
}

int main() {
  cin >> n >> m >> s;
  int l = 0, r = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i].w_ >> a[i].v_, r = max(r, a[i].w_);
  ++r;
  for (int i = 1; i <= m; ++i) cin >> b[i].l_ >> b[i].r_;
  ll ans = LLONG_MAX;
  while (l <= r) {
    int mid = (l + r) / 2;
    ll y = calc(mid);
    ans = min(ans, abs(s - y));
    if (y == s) {
      break;
    } else if (y > s) {
      l = mid + 1;
    } else {
      r = mid - 1;
    }
  }
  cout << ans;
  return 0;
}

思路

根据题意，每个区间内都有：

Y = 合法个数乘上合法价值和

而要我们求的y就等于每个区间的Y之和。

显然区间合法个数与区间合法价值和是满足容斥原理的，可以使用前缀和进行优化。

由于要让y尽可能地接近s，发现结果具有单调性，可以进行答案二分：

  • 标准值W越大，那么合法的矿石就少，y就小；
  • 标准值W越小，那么合法的矿石就多，y就大；
  • y小于s时，说明y应该变大，这样才能接近s，也就是让W变小；
  • y大于s时，说明y应该变小，这样才能接近s，也就是让W变大。

而W的二分范围等于[0, 最大矿石重量 + 1]，

左边界是所有矿石都满足条件时，右边界是所有矿石都不满足条件时；这样就不会遗漏情况。