P3799. 妖梦拼木棒

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考点

  • 枚举
  • 排列组合

题解

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

int arr[5050];

const int mod = 1e9 + 7;

//求组合数，限定取2或1
ll calc(ll a, int b)
{
    if (b == 2)
        return ((a % mod) * ((a - 1) % mod) / 2) % mod;
    else
        return a % mod;
}

int main()
{
    int n, in;
    ll ans = 0;
    cin >> n;
    while (n--)
    {
        cin >> in;
        ++arr[in];
    }
    for (int i = 5000; i >= 1; i--)
    {
        if (arr[i] < 2)
            continue;
        ll a = calc(arr[i], 2);
        for (int j = 1; j <= i / 2; ++j)
        {
            if (!arr[j] || !arr[i - j])
                continue;
            //两个短边相等的时候
            if (j == i - j && arr[j] >= 2)
            {
                ll b = calc(arr[j], 2);
                ans = (ans + (a * b) % mod) % mod;
            }
            if (j != i - j)
            {
                ll b = calc(arr[j], 1), c = calc(arr[i - j], 1);
                ans = (ans + (a * b * c) % mod) % mod;
            }
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

思路

用一个数组arr记录各类长度的个数；如果双重循环枚举短边的话，是绝对会超时的

由于其中一条短边一定小于等于长边的一半；那么外循环就枚举长边，内循环枚举小于等于长边一半的短边，复杂度就降到了\(n^2/2\)

假设长边为a，一个短边为b，另一个短边为c，有以下等式成立： \[ \frac{a}{2}=\frac{\left( b+c \right)}{2} \] 映射到数轴上看，显然有一个短边必小于等于长边一半，而另一个短边必大于等于长边一半

找到了符合条件的三种边后，使用排列乘法原理即可：

  • 如果短边b等于短边c，相当于从长度等于b的火柴中取2根，再从长度等于a长边的火柴中取2根，即： \[ C_{a}^{2}\times C_{b}^{2} \]

  • 如果短边b不等于短边c，分别从长度b、长度c两堆各取1根，从长度a取2根 \[ C_{a}^{2}\times C_{b}^{1}\times C_{c}^{1} \]